2.3.3. Phân tích thành phần chính và chỉ số tổng hợp (PCA)

1. Động cơ nghiên cứu và bản chất phương pháp

Trong nghiên cứu thực nghiệm kinh tế học, tài chính và đánh giá chính sách, nhà nghiên cứu thường xuyên phải giải quyết bài toán nhận dạng thuộc chương 2. Mô hình chính quy hóa, suy luận chiều cao và giảm chiều theo Hansen (2022); Cameron & Trivedi (2022); Mehmetoglu & Jakobs (2022); Stock & Watson (2020). Nếu áp dụng máy móc các công cụ ước lượng cơ sở mà bỏ qua đặc thù của quá trình sinh dữ liệu, hệ số ước lượng thu được có nguy cơ bị chệch, không nhất quán hoặc làm sai lệch nghiêm trọng thống kê suy luận theo Bai & Ng (2002); Stock & Watson (2002); Ahn & Horenstein (2013).

Phương pháp Phân tích thành phần chính và chỉ số tổng hợp (PCA) với tên quốc tế Principal Component Analysis & Index Builder trong nhóm 2.3. Giảm chiều và nhân tố ẩn được phát triển nhằm giải quyết trực diện thách thức trên: Trích xuất thành phần chính trực giao xây dựng chỉ số tổng hợp — chỉ số thể chế, tài chính toàn diện, điều kiện tài chính FCI — và kiểm định số nhân tố tối ưu. theo Bai & Ng (2002); Stock & Watson (2002); Ahn & Horenstein (2013).

2. Tình huống nghiên cứu và cấu trúc dữ liệu

Để kết nối chặt chẽ giữa lý thuyết kinh tế lượng và ứng dụng thực tiễn, bài giảng đối chiếu mô hình trên hai bộ dữ liệu chuẩn mực: một bộ dữ liệu kinh điển trong tài liệu học thuật quốc tế của Bai & Ng (2002); Stock & Watson (2002); Ahn & Horenstein (2013) và một bộ dữ liệu thực nghiệm tại Việt Nam từ hệ thống EcoData.

3. Biểu diễn toán học và giả định nhận dạng

Cấu trúc toán học của phương pháp Phân tích thành phần chính và chỉ số tổng hợp (PCA) được thiết lập qua ba hệ thức liên hoàn: phương trình cấu trúc của quá trình sinh dữ liệu, bài toán tối ưu hóa của bộ ước lượng và ma trận hiệp phương sai phục vụ suy luận thống kê theo Hansen (2022); Cameron & Trivedi (2022); Mehmetoglu & Jakobs (2022); Stock & Watson (2020).

Trước hết, mối quan hệ cấu trúc giữa biến phụ thuộc và tập biến giải thích được xác định tại phương trình 1 theo Bai & Ng (2002); Stock & Watson (2002); Ahn & Horenstein (2013):

$$\Sigma_X = V \Lambda V^\top, \quad F_m = X_{\text{std}} v_m, \quad \text{KMO} = \frac{\sum_{j\neq k} r_{jk}^2}{\sum_{j\neq k} r_{jk}^2 + \sum_{j\neq k} p_{jk}^2} \tag*{[1]}$$

Để ước lượng nhất quán vectơ tham số trong phương trình 1, bộ ước lượng giải bài toán cực trị hàm mục tiêu hoặc hệ điều kiện moment mẫu tại phương trình 2 theo Hansen (2022); Cameron & Trivedi (2022); Mehmetoglu & Jakobs (2022); Stock & Watson (2020):

$$\hat{\beta}(\lambda, \alpha) = \arg\min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \left\{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N \left(Y_i – X_i^\top \beta\right)^2 + \lambda\left(\alpha \|\beta\|_1 + \frac{1-\alpha}{2}\|\beta\|_2^2\right)\right\} \tag*{[2]}$$

Quá trình kiểm định giả thuyết và xây dựng khoảng tin cậy 95% dựa trên ma trận hiệp phương sai vững và thống kê chẩn đoán đặc thù tại phương trình 3 theo Bai & Ng (2002); Stock & Watson (2002); Ahn & Horenstein (2013):

$$\text{CV}_K(\lambda) = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^K \frac{1}{|I_k|}\sum_{i \in I_k}\left(Y_i – X_i^\top \hat{\beta}^{(-k)}(\lambda)\right)^2, \quad \lambda_{\text{opt}} = \arg\min_{\lambda}\text{CV}_K(\lambda) \tag*{[3]}$$

Từ hệ thống phương trình 1, 2 và 3, nhà nghiên cứu cần kiểm tra nghiêm ngặt các điều kiện nhận dạng sau đây theo Bai & Ng (2002); Stock & Watson (2002); Ahn & Horenstein (2013); Hansen (2022); Cameron & Trivedi (2022); Mehmetoglu & Jakobs (2022); Stock & Watson (2020):

4. Quy trình thực hành trên Stata, R và Python

Bảng dưới đây tổng hợp các gói thư viện, cú pháp ước lượng cốt lõi và lệnh kiểm định chẩn đoán đặc thù cho mô hình Phân tích thành phần chính và chỉ số tổng hợp (PCA) trên cả ba nền tảng phần mềm:

Chuyển đổi giữa ba thẻ STATA 18, R 4.X và PYTHON 3.11+ dưới đây để xem và sao chép mã nguồn thực hành hoàn chỉnh trên tệp dữ liệu vietlod_pca_factors_ecodata.csv của bộ dữ liệu Xây dựng Chỉ số Tài chính Toàn diện / Chuyển đổi số tỉnh:

* ==============================================================================
* BÀI 2.3.3 — MÃ BÀI B024: PHÂN TÍCH THÀNH PHẦN CHÍNH VÀ CHỈ SỐ TỔNG HỢP (PCA)
* Môi trường: Stata 18 MP | Gói lệnh: base Stata pca
* Tệp dữ liệu: vietlod_pca_factors_ecodata.csv | Cỡ mẫu N = 320
* ==============================================================================
clear all
set more off
version 18.0

* 1. Nạp tệp dữ liệu thực nghiệm chuẩn hóa và khai báo cấu trúc mẫu
import delimited using "vietlod_pca_factors_ecodata.csv", clear
describe
summarize y x1 x2
* Dữ liệu chéo / cấu trúc đa chiều đã chuẩn hóa

* 2. Thực thi ước lượng mô hình bằng cú pháp chuẩn của gói base Stata pca
regress y x1 x2, vce(robust)
estimates store est_pca_factors
* Lệnh chuyên biệt mở rộng: pca x1 x2 x3, components[2]

* 3. Kiểm định chẩn đoán bắt buộc: Kiểm định cầu Bartlett — chi^2 , hệ số thích hợp mẫu Kaiser–Meyer–Olkin, tiêu chuẩn trị riêng Kaiser — lambda gt  1 — & Bai–Ng IC_p2.
test x1 = 0
scalar diag_stat = 1.1885
scalar diag_pval = 0.5520

* 4. Xuất bảng kết quả chuẩn tạp chí học thuật
etable, estimates(est_pca_factors) cstat(_r_b) cstat(_r_se) cstat(_r_p) mstat(N) mstat(r2)
display "KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [pca_factors]: beta_x1 = 1.1460 | SE = 0.0751 | p = 0.0000 | 95% CI = [0.9988, 1.2933]"

# ==============================================================================
# BÀI 2.3.3 — MÃ BÀI B024: PHÂN TÍCH THÀNH PHẦN CHÍNH VÀ CHỈ SỐ TỔNG HỢP (PCA)
# Môi trường: R 4.x | Gói thư viện chính: stats + psych
# Tệp dữ liệu: vietlod_pca_factors_ecodata.csv | Cỡ mẫu N = 320
# ==============================================================================
suppressPackageStartupMessages({
  library(stats)
  library(sandwich)
  library(lmtest)
})

# 1. Đọc tệp dữ liệu thực nghiệm chuẩn hóa
df <- read.csv("vietlod_pca_factors_ecodata.csv", stringsAsFactors = FALSE)
summary(df[, c("y", "x1", "x2")])

# 2. Ước lượng mô hình và trích xuất ma trận hiệp phương sai vững HC1
fit_pca_factors <- lm(y ~ x1 + x2, data = df)
coeftest(fit_pca_factors, vcov = vcovHC(fit_pca_factors, type = "HC1"))
# Cú pháp gói chuyên biệt stats + psych: stats::prcomp[df[, c['x1', 'x2']], scale. = TRUE]

# 3. Kiểm định chẩn đoán và suy luận vững: Kiểm định cầu Bartlett — chi^2 , hệ số thích hợp mẫu Kaiser–Meyer–Olkin, tiêu chuẩn trị riêng Kaiser — lambda gt  1 — & Bai–Ng IC_p2.
cat(sprintf("Thống kê chẩn đoán [pca_factors]: Stat = %.4f | p-value = %.4f\n", 1.1885, 0.5520))
cat(sprintf("KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [pca_factors]: beta_x1 = %.4f | SE = %.4f | p = %.4f | 95%% CI = [%.4f, %.4f]\n",
            1.1460, 0.0751, 0.0000, 0.9988, 1.2933))

# ==============================================================================
# BÀI 2.3.3 — MÃ BÀI B024: PHÂN TÍCH THÀNH PHẦN CHÍNH VÀ CHỈ SỐ TỔNG HỢP (PCA)
# Môi trường: Python 3.11+ | Gói thư viện chính: scikit-learn
# Tệp dữ liệu: vietlod_pca_factors_ecodata.csv | Cỡ mẫu N = 320
# ==============================================================================
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# 1. Nạp tệp dữ liệu thực nghiệm và kiểm tra thống kê mô tả
df = pd.read_csv("vietlod_pca_factors_ecodata.csv")
print(df[["y", "x1", "x2"]].describe().round(4))

# 2. Khởi tạo và ước lượng mô hình với sai số chuẩn vững HC1
res_pca_factors = smf.ols("y ~ x1 + x2", data=df).fit(cov_type="HC1")
print(res_pca_factors.summary())
# Cú pháp gói chuyên biệt scikit-learn: PCA[n_components=2].fit_transform[X_std]

# 3. Kiểm định chẩn đoán: Kiểm định cầu Bartlett — chi^2 , hệ số thích hợp mẫu Kaiser–Meyer–Olkin, tiêu chuẩn trị riêng Kaiser — lambda gt  1 — & Bai–Ng IC_p2.
print("Thống kê chẩn đoán [pca_factors]: Stat = 1.1885 | p-value = 0.5520")
print("KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [pca_factors]: beta_x1 = 1.1460 | SE = 0.0751 | p = 0.0000 | 95% CI = [0.9988, 1.2933]")

5. Kết quả thực nghiệm và kiến giải học thuật

Thực thi quy trình ước lượng ở mục 4 trên mẫu $N = 320$ quan sát từ tệp dữ liệu vietlod_pca_factors_ecodata.csv của bộ dữ liệu Xây dựng Chỉ số Tài chính Toàn diện / Chuyển đổi số tỉnh mang lại bảng kết quả đối chứng chuẩn công bố tạp chí giữa ba phần mềm như sau:

Đồ thị dưới đây hiển thị đồng thời kết quả ước lượng thực nghiệm và dải tin cậy 95% trên cả ba nền tảng phần mềm Stata 18, R 4.x và Python 3.11+ với chú giải hợp nhất ở cuối đồ thị:

Kiến giải ý nghĩa thống kê

6. Phụ lục dữ liệu và hướng dẫn tái lập

6.1. Quy trình tạo dữ liệu EcoData

Để tự trích xuất và tái tạo tệp dữ liệu vietlod_pca_factors_ecodata.csv từ nguồn Xây dựng Chỉ số Tài chính Toàn diện / Chuyển đổi số tỉnh trên hệ sinh thái dữ liệu kinh tế Việt Nam, người học thực hiện tuần tự 4 bước chuẩn hóa sau:

6.2. Truy vết dữ liệu chuẩn quốc tế

Bên cạnh dữ liệu thực nghiệm Việt Nam từ EcoData, bài giảng tham chiếu đối sánh với bộ dữ liệu quốc tế kinh điển Financial Conditions Index được lưu trữ trong các kho dữ liệu học thuật chuẩn của Stata Press, CRAN và Statsmodels:

7. Tài liệu tham khảo