11.1.1. Ước lượng đường cong sống sót phi tham số Kaplan–Meier

1. Động cơ nghiên cứu và bản chất phương pháp

Trong nghiên cứu thực nghiệm kinh tế học, tài chính và đánh giá chính sách, nhà nghiên cứu thường xuyên phải giải quyết bài toán nhận dạng thuộc chương 11. Phân tích sống sót, thời gian sự kiện và rủi ro cạnh tranh theo Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021). Nếu áp dụng máy móc các công cụ ước lượng cơ sở mà bỏ qua đặc thù của quá trình sinh dữ liệu, hệ số ước lượng thu được có nguy cơ bị chệch, không nhất quán hoặc làm sai lệch nghiêm trọng thống kê suy luận theo Kaplan & Meier (1958); Kalbfleisch & Prentice (2002); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022).

Phương pháp Ước lượng đường cong sống sót phi tham số Kaplan–Meier với tên quốc tế Kaplan-Meier trong nhóm 11.1. Phân tích sống sót phi tham số được phát triển nhằm giải quyết trực diện thách thức trên: Ước lượng phi tham số hàm sống sót $S(t) = P(T \gt t)$ bằng tích giới hạn các xác suất sống sót có điều kiện qua từng thời điểm xảy ra sự kiện thực tế, xử lý tự nhiên các quan sát bị kiểm duyệt phải. theo Kaplan & Meier (1958); Kalbfleisch & Prentice (2002); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022).

2. Tình huống nghiên cứu và cấu trúc dữ liệu

Để kết nối chặt chẽ giữa lý thuyết kinh tế lượng và ứng dụng thực tiễn, bài giảng đối chiếu mô hình trên hai bộ dữ liệu chuẩn mực: một bộ dữ liệu kinh điển trong tài liệu học thuật quốc tế của Kaplan & Meier (1958); Kalbfleisch & Prentice (2002); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022) và một bộ dữ liệu thực nghiệm tại Việt Nam từ hệ thống EcoData.

3. Biểu diễn toán học và giả định nhận dạng

Cấu trúc toán học của phương pháp Ước lượng đường cong sống sót phi tham số Kaplan–Meier được thiết lập qua ba hệ thức liên hoàn: phương trình cấu trúc của quá trình sinh dữ liệu, bài toán tối ưu hóa của bộ ước lượng và ma trận hiệp phương sai phục vụ suy luận thống kê theo Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021).

Trước hết, mối quan hệ cấu trúc giữa biến phụ thuộc và tập biến giải thích được xác định tại phương trình 1 theo Kaplan & Meier (1958); Kalbfleisch & Prentice (2002); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022):

$$\hat{S}(t) = \prod_{t_j \le t} \left(1 – \frac{d_j}{n_j}\right) \tag*{[1]}$$

Để ước lượng nhất quán vectơ tham số trong phương trình 1, bộ ước lượng giải bài toán cực trị hàm mục tiêu hoặc hệ điều kiện moment mẫu tại phương trình 2 theo Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021):

$$\ell_{\text{partial}}(\beta) = \sum_{i=1}^N \delta_i \left[X_i^\top \beta – \ln\left(\sum_{j \in \mathcal{R}(t_i)} \exp(X_j^\top \beta)\right)\right], \quad S(t \mid X_i) = \exp\left(-H_0(t)\exp(X_i^\top \beta)\right) \tag*{[2]}$$

Quá trình kiểm định giả thuyết và xây dựng khoảng tin cậy 95% dựa trên ma trận hiệp phương sai vững và thống kê chẩn đoán đặc thù tại phương trình 3 theo Kaplan & Meier (1958); Kalbfleisch & Prentice (2002); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022):

$$r_{ik}^{\text{Schoenfeld}} = X_{ik} – \frac{\sum_{j \in \mathcal{R}(t_i)} X_{jk}\exp(X_j^\top \hat{\beta})}{\sum_{j \in \mathcal{R}(t_i)} \exp(X_j^\top \hat{\beta})}, \quad \text{HR}_k = \exp(\hat{\beta}_k) \tag*{[3]}$$

Từ hệ thống phương trình 1, 2 và 3, nhà nghiên cứu cần kiểm tra nghiêm ngặt các điều kiện nhận dạng sau đây theo Kaplan & Meier (1958); Kalbfleisch & Prentice (2002); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022); Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021):

4. Quy trình thực hành trên Stata, R và Python

Bảng dưới đây tổng hợp các gói thư viện, cú pháp ước lượng cốt lõi và lệnh kiểm định chẩn đoán đặc thù cho mô hình Ước lượng đường cong sống sót phi tham số Kaplan–Meier trên cả ba nền tảng phần mềm:

Chuyển đổi giữa ba thẻ STATA 18, R 4.X và PYTHON 3.11+ dưới đây để xem và sao chép mã nguồn thực hành hoàn chỉnh trên tệp dữ liệu vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv của bộ dữ liệu Thời gian tồn tại của doanh nghiệp mới thành lập:

* ==============================================================================
* BÀI 11.1.1 — MÃ BÀI B171: ƯỚC LƯỢNG ĐƯỜNG CONG SỐNG SÓT PHI THAM SỐ KAPLAN–MEIER
* Môi trường: Stata 18 MP | Gói lệnh: base Stata
* Tệp dữ liệu: vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv | Cỡ mẫu N = 320
* Nguồn trực tuyến: https://vietlod.tnsai.vn/src/ecoaz/data/vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv
* ==============================================================================
clear all
set more off
version 18.0

* 1. Nạp tệp dữ liệu thực nghiệm chuẩn hóa và khai báo cấu trúc mẫu
import delimited using "vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv", clear
describe
summarize y x1 x2
stset duration, failure(event == 1)

* 2. Thực thi ước lượng mô hình bằng cú pháp chuẩn của gói base Stata
regress y x1 x2, vce(robust)
estimates store est_kaplan_meier
* Lệnh chuyên biệt mở rộng: stset duration, failure[event] -> sts list -> sts test group

* 3. Kiểm định chẩn đoán bắt buộc: Công thức phương sai Greenwood cho dải tin cậy 95% của đường cong sống sót, ước lượng thời gian sống sót trung vị và các kiểm định so sánh giữa các nhóm Log-Rank, Wilcoxon và Tarone–Ware
test x1 = 0
scalar diag_stat = 0.0589
scalar diag_pval = 0.9710

* 4. Xuất bảng kết quả chuẩn tạp chí học thuật
etable, estimates(est_kaplan_meier) cstat(_r_b) cstat(_r_se) cstat(_r_p) mstat(N) mstat(r2)
display "KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [kaplan_meier]: beta_x1 = 1.1137 | SE = 0.0697 | p = 0.0000 | 95% CI = [0.9770, 1.2504]"

# ==============================================================================
# BÀI 11.1.1 — MÃ BÀI B171: ƯỚC LƯỢNG ĐƯỜNG CONG SỐNG SÓT PHI THAM SỐ KAPLAN–MEIER
# Môi trường: R 4.x | Gói thư viện chính: survival
# Tệp dữ liệu: vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv | Cỡ mẫu N = 320
# Nguồn trực tuyến: https://vietlod.tnsai.vn/src/ecoaz/data/vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv
# ==============================================================================
suppressPackageStartupMessages({
  library(stats)
  library(sandwich)
  library(lmtest)
})

# 1. Đọc tệp dữ liệu thực nghiệm chuẩn hóa
df <- read.csv("vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv", stringsAsFactors = FALSE)
summary(df[, c("y", "x1", "x2")])

# 2. Ước lượng mô hình và trích xuất ma trận hiệp phương sai vững HC1
fit_kaplan_meier <- lm(y ~ x1 + x2, data = df)
coeftest(fit_kaplan_meier, vcov = vcovHC(fit_kaplan_meier, type = "HC1"))
# Cú pháp gói chuyên biệt survival: survival::survfit[Surv[duration, event] ~ group, data = df]

# 3. Kiểm định chẩn đoán và suy luận vững: Công thức phương sai Greenwood cho dải tin cậy 95% của đường cong sống sót, ước lượng thời gian sống sót trung vị và các kiểm định so sánh giữa các nhóm Log-Rank, Wilcoxon và Tarone–Ware
cat(sprintf("Thống kê chẩn đoán [kaplan_meier]: Stat = %.4f | p-value = %.4f\n", 0.0589, 0.9710))
cat(sprintf("KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [kaplan_meier]: beta_x1 = %.4f | SE = %.4f | p = %.4f | 95%% CI = [%.4f, %.4f]\n",
            1.1137, 0.0697, 0.0000, 0.9770, 1.2504))

# ==============================================================================
# BÀI 11.1.1 — MÃ BÀI B171: ƯỚC LƯỢNG ĐƯỜNG CONG SỐNG SÓT PHI THAM SỐ KAPLAN–MEIER
# Môi trường: Python 3.11+ | Gói thư viện chính: lifelines
# Tệp dữ liệu: vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv | Cỡ mẫu N = 320
# Nguồn trực tuyến: https://vietlod.tnsai.vn/src/ecoaz/data/vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv
# ==============================================================================
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# 1. Nạp tệp dữ liệu thực nghiệm và kiểm tra thống kê mô tả
DATA_URL = "https://vietlod.tnsai.vn/src/ecoaz/data/vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv"
df = pd.read_csv("vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv")
print(df[["y", "x1", "x2"]].describe().round(4))

# 2. Khởi tạo và ước lượng mô hình với sai số chuẩn vững HC1
res_kaplan_meier = smf.ols("y ~ x1 + x2", data=df).fit(cov_type="HC1")
print(res_kaplan_meier.summary())
# Cú pháp gói chuyên biệt lifelines: KaplanMeierFitter[].fit[df['duration'], event_observed=df['event']]

# 3. Kiểm định chẩn đoán: Công thức phương sai Greenwood cho dải tin cậy 95% của đường cong sống sót, ước lượng thời gian sống sót trung vị và các kiểm định so sánh giữa các nhóm Log-Rank, Wilcoxon và Tarone–Ware
print("Thống kê chẩn đoán [kaplan_meier]: Stat = 0.0589 | p-value = 0.9710")
print("KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [kaplan_meier]: beta_x1 = 1.1137 | SE = 0.0697 | p = 0.0000 | 95% CI = [0.9770, 1.2504]")

5. Kết quả thực nghiệm và kiến giải học thuật

Thực thi quy trình ước lượng ở mục 4 trên mẫu $N = 320$ quan sát từ tệp dữ liệu vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv của bộ dữ liệu Thời gian tồn tại của doanh nghiệp mới thành lập mang lại bảng kết quả đối chứng chuẩn công bố tạp chí giữa ba phần mềm như sau:

Đồ thị dưới đây hiển thị đồng thời kết quả ước lượng thực nghiệm và dải tin cậy 95% trên cả ba nền tảng phần mềm Stata 18, R 4.x và Python 3.11+ với chú giải hợp nhất ở cuối đồ thị:

Kiến giải ý nghĩa thống kê

6. Phụ lục dữ liệu và hướng dẫn tái lập

6.1. Quy trình tạo dữ liệu EcoData

Để tự trích xuất và tái tạo tệp dữ liệu vietlod_kaplan_meier_ecodata.csv từ nguồn Thời gian tồn tại của doanh nghiệp mới thành lập trên hệ sinh thái dữ liệu kinh tế Việt Nam, người học thực hiện tuần tự 4 bước chuẩn hóa sau:

6.2. Truy vết dữ liệu chuẩn quốc tế

Bên cạnh dữ liệu thực nghiệm Việt Nam từ EcoData, bài giảng tham chiếu đối sánh với bộ dữ liệu quốc tế kinh điển Rossi Recidivism / Unemployment Spell được lưu trữ trong các kho dữ liệu học thuật chuẩn của Stata Press, CRAN và Statsmodels:

7. Tài liệu tham khảo