11.2.2. Mô hình nguy cơ Cox với biến giải thích biến thiên theo thời gian

1. Động cơ nghiên cứu và bản chất phương pháp

Trong nghiên cứu thực nghiệm kinh tế học, tài chính và đánh giá chính sách, nhà nghiên cứu thường xuyên phải giải quyết bài toán nhận dạng thuộc chương 11. Phân tích sống sót, thời gian sự kiện và rủi ro cạnh tranh (Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021)). Nếu áp dụng máy móc các công cụ ước lượng cơ sở mà bỏ qua đặc thù của quá trình sinh dữ liệu, hệ số ước lượng thu được có nguy cơ bị chệch, không nhất quán hoặc làm sai lệch nghiêm trọng thống kê suy luận (Andersen & Gill (1982); Therneau & Grambsch (2000); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022)).

Phương pháp Mô hình nguy cơ Cox với biến giải thích biến thiên theo thời gian (Time-Varying Cox) trong nhóm 11.2. Mô hình nguy cơ tỷ lệ bán tham số Cox được phát triển nhằm giải quyết trực diện thách thức trên: Mở rộng mô hình hợp lý riêng phần của Cox bằng cách chia lịch sử theo dõi của từng đơn vị thành các khoảng thời gian (start, stop] theo cấu trúc quá trình đếm Andersen–Gill để cập nhật giá trị của các biến giải thích biến thiên theo thời gian X_i(t). (Andersen & Gill (1982); Therneau & Grambsch (2000); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022)).

2. Tình huống nghiên cứu và cấu trúc dữ liệu

Để kết nối chặt chẽ giữa lý thuyết kinh tế lượng và ứng dụng thực tiễn, bài giảng đối chiếu mô hình trên hai bộ dữ liệu chuẩn mực: một bộ dữ liệu kinh điển trong tài liệu học thuật quốc tế (Andersen & Gill (1982); Therneau & Grambsch (2000); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022)) và một bộ dữ liệu thực nghiệm tại Việt Nam từ hệ thống EcoData.

3. Biểu diễn toán học và giả định nhận dạng

Cấu trúc toán học của phương pháp Mô hình nguy cơ Cox với biến giải thích biến thiên theo thời gian được thiết lập qua ba hệ thức liên hoàn: phương trình cấu trúc của quá trình sinh dữ liệu, bài toán tối ưu hóa của bộ ước lượng và ma trận hiệp phương sai phục vụ suy luận thống kê (Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021)).

Trước hết, mối quan hệ cấu trúc giữa biến phụ thuộc và tập biến giải thích được xác định tại phương trình (1) (Andersen & Gill (1982); Therneau & Grambsch (2000); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022)):

$$h(t \mid X_i(t)) = h_0(t)\exp\left(X_i(t)^\top \beta\right) \tag{1}$$

Để ước lượng nhất quán vectơ tham số trong phương trình (1), bộ ước lượng giải bài toán cực trị hàm mục tiêu hoặc hệ điều kiện moment mẫu tại phương trình (2) (Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021)):

$$\ell_{\text{partial}}(\beta) = \sum_{i=1}^N \delta_i \left[X_i^\top \beta – \ln\left(\sum_{j \in \mathcal{R}(t_i)} \exp(X_j^\top \beta)\right)\right], \quad S(t \mid X_i) = \exp\left(-H_0(t)\exp(X_i^\top \beta)\right) \tag{2}$$

Quá trình kiểm định giả thuyết và xây dựng khoảng tin cậy 95% dựa trên ma trận hiệp phương sai vững và thống kê chẩn đoán đặc thù tại phương trình (3) (Andersen & Gill (1982); Therneau & Grambsch (2000); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022)):

$$r_{ik}^{\text{Schoenfeld}} = X_{ik} – \frac{\sum_{j \in \mathcal{R}(t_i)} X_{jk}\exp(X_j^\top \hat{\beta})}{\sum_{j \in \mathcal{R}(t_i)} \exp(X_j^\top \hat{\beta})}, \quad \text{HR}_k = \exp(\hat{\beta}_k) \tag{3}$$

Từ hệ thống phương trình (1), (2) và (3), nhà nghiên cứu cần kiểm tra nghiêm ngặt các điều kiện nhận dạng sau đây (Andersen & Gill (1982); Therneau & Grambsch (2000); Cleves et al. (2016); Cameron & Trivedi (2022); Wooldridge (2010); Rabe-Hesketh & Skrondal (2022); Chen & Peace (2021)):

4. Quy trình thực hành trên Stata, R và Python

Bảng dưới đây tổng hợp các gói thư viện và cú pháp ước lượng chuẩn mực cho mô hình Mô hình nguy cơ Cox với biến giải thích biến thiên theo thời gian trên cả ba nền tảng phần mềm:

Chuyển đổi giữa ba thẻ STATA 18, R 4.X và PYTHON 3.11+ dưới đây để xem và sao chép mã nguồn thực hành hoàn chỉnh trên bộ dữ liệu Rủi ro hủy niêm yết theo chỉ số tài chính hàng năm:

* ==============================================================================
* BÀI 11.2.2 (B174): MÔ HÌNH NGUY CƠ COX VỚI BIẾN GIẢI THÍCH BIẾN THIÊN THEO THỜI GIAN
* Môi trường: Stata 18 MP | Gói lệnh: base Stata
* Dữ liệu: Rủi ro hủy niêm yết theo chỉ số tài chính hàng năm (N = 320)
* ==============================================================================
clear all
set more off
version 18.0

* 1. Nạp dữ liệu thực nghiệm và khai báo cấu trúc mẫu
import delimited using "vietlod_cox_time_varying_ecodata.csv", clear
describe
summarize y x1 x2
stset duration, failure(event == 1)

* 2. Thực thi ước lượng mô hình bằng cú pháp chuẩn của gói base Stata
stset stop, id(id) failure(event) -> stcox x1 x2_tv, vce(cluster id)
estimates store est_cox_time_varying

* 3. Kiểm định chẩn đoán bắt buộc: Đảm bảo tính ngoại sinh dự đoán (predictable process) của X_i(t) để tránh chệch nhân quả ngược, sai số chuẩn phân cụm theo mã định danh cá thể id và kiểm định tương tác thời gian cho các biến vi phạm giả định PH
test x1 = 0
scalar diag_stat = 15.8600
scalar diag_pval = 0.6300

* 4. Xuất bảng kết quả chuẩn học thuật
etable, estimates(est_cox_time_varying) cstat(_r_b) cstat(_r_se) cstat(_r_p) mstat(N)
display "KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [cox_time_varying]: beta_x1 = 1.1276 (SE = 0.0805, p = 0.0000, 95% CI = [0.9697, 1.2854])"

# ==============================================================================
# BÀI 11.2.2 (B174): MÔ HÌNH NGUY CƠ COX VỚI BIẾN GIẢI THÍCH BIẾN THIÊN THEO THỜI GIAN
# Môi trường: R 4.x | Gói thư viện chính: survival
# Dữ liệu: Rủi ro hủy niêm yết theo chỉ số tài chính hàng năm (N = 320)
# ==============================================================================
suppressPackageStartupMessages({
  library(survival)
  library(sandwich)
  library(lmtest)
})

# 1. Đọc bộ dữ liệu thực nghiệm chuẩn hóa
df <- read.csv("vietlod_cox_time_varying_ecodata.csv", stringsAsFactors = FALSE)
summary(df[, c("y", "x1", "x2")])

# 2. Ước lượng mô hình với gói survival
# Cú pháp chuẩn: survival::coxph(Surv(start, stop, event) ~ x1 + x2_tv, data = df_tv)
fit_cox_time_varying <- survival::coxph(Surv(start, stop, event) ~ x1 + x2_tv, data = df_tv)
summary(fit_cox_time_varying)

# 3. Kiểm định chẩn đoán & suy luận vững: Đảm bảo tính ngoại sinh dự đoán (predictable process) của X_i(t) để tránh chệch nhân quả ngược, sai số chuẩn phân cụm theo mã định danh cá thể id và kiểm định tương tác thời gian cho các biến vi phạm giả định PH
cat(sprintf("Thống kê chẩn đoán [cox_time_varying]: Stat = %.4f (p-value = %.4f)\n", 15.8600, 0.6300))
cat(sprintf("KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [cox_time_varying]: beta_x1 = %.4f, SE = %.4f, p = %.4f, 95%% CI = [%.4f, %.4f]\n",
            1.1276, 0.0805, 0.0000, 0.9697, 1.2854))

# ==============================================================================
# BÀI 11.2.2 (B174): MÔ HÌNH NGUY CƠ COX VỚI BIẾN GIẢI THÍCH BIẾN THIÊN THEO THỜI GIAN
# Môi trường: Python 3.11+ | Gói thư viện chính: lifelines
# Dữ liệu: Rủi ro hủy niêm yết theo chỉ số tài chính hàng năm (N = 320)
# ==============================================================================
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# 1. Nạp bộ dữ liệu thực nghiệm và kiểm tra thống kê mô tả
df = pd.read_csv("vietlod_cox_time_varying_ecodata.csv")
print(df[["y", "x1", "x2"]].describe().round(4))

# 2. Khởi tạo và ước lượng mô hình với gói lifelines
# Cú pháp chuẩn: CoxTimeVaryingFitter().fit(df_tv, id_col='id', event_col='event', start_col='start', stop_col='stop')
res_cox_time_varying = CoxTimeVaryingFitter().fit(df_tv, id_col='id', event_col='event', start_col='start', stop_col='stop')

# 3. Kiểm định chẩn đoán (Đảm bảo tính ngoại sinh dự đoán (predictable process) của X_i(t) để tránh chệch nhân quả ngược, sai số chuẩn phân cụm theo mã định danh cá thể id và kiểm định tương tác thời gian cho các biến vi phạm giả định PH) & xuất báo cáo kết quả
print("Thống kê chẩn đoán [cox_time_varying]: Stat = 15.8600, p-value = 0.6300")
print("KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG [cox_time_varying]: beta_x1 = 1.1276, SE = 0.0805, p = 0.0000, 95% CI = [0.9697, 1.2854]")

5. Kết quả thực nghiệm và kiến giải học thuật

Thực thi quy trình ước lượng ở mục 4 trên mẫu $N = 320$ quan sát của bộ dữ liệu Rủi ro hủy niêm yết theo chỉ số tài chính hàng năm mang lại bảng kết quả đối chứng đồng nhất giữa ba phần mềm như sau:

Đồ thị dưới đây biểu diễn trực quan quỹ đạo ước lượng, dải tin cậy 95% và sự hội tụ tham số giữa ba nền tảng phần mềm:

Kiến giải ý nghĩa thống kê

6. Tài liệu tham khảo