8.1. Họ mô hình phương sai thay đổi có điều kiện (ARCH, GARCH)

Estimated reading: 14 minutes 5 views

TÓM TẮT NHÓM 8.1: Nhóm bài giảng 8.1. Họ mô hình phương sai thay đổi có điều kiện (ARCH, GARCH) thuộc 8. Độ biến động tài chính, định giá tài sản và rủi ro hệ thống quy tụ 7 mô hình kinh tế lượng (từ mục 8.1.1 đến mục 8.1.7). Nội dung dưới đây hệ thống hóa cơ sở toán học, phân biệt điều kiện nhận dạng và đối chiếu cú pháp thực thi trên Stata 18, R 4.x và Python 3.11+ theo chuẩn giáo trình quốc tế (Engle (1982); Bollerslev, Chou & Kroner (1992); Brooks (2019); Becketti (2020); Pesaran (2015); Verbeek (2021)).

1. Bản chất học thuật và cấu trúc toán học

Trong phạm vi của chương Độ biến động tài chính, định giá tài sản và rủi ro hệ thống, nhóm phương pháp Họ mô hình phương sai thay đổi có điều kiện (ARCH, GARCH) giải quyết các bài toán thực nghiệm đòi hỏi đặc tả chính xác quá trình sinh dữ liệu và kiểm soát chặt chẽ cấu trúc sai số (Pesaran (2015); Verbeek (2021)). Các mô hình trong nhóm 8.1 cùng dựa trên hệ thức cấu trúc nền tảng tại phương trình (1) (Engle (1982); Bollerslev, Chou & Kroner (1992); Brooks (2019); Becketti (2020)):

$$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^q \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2, \quad \varepsilon_t = \sigma_t z_t \tag{1}$$

Phương trình điều kiện ước lượng và tối ưu hóa của nhóm phương pháp này được xác định tại công thức (2):

$$\ell_T(\theta) = -\frac{1}{2}\sum_{t=1}^T \left[\ln(2\pi) + \ln(\sigma_t^2(\theta)) + \frac{\varepsilon_t^2}{\sigma_t^2(\theta)}\right], \quad z_t = \frac{\varepsilon_t}{\sigma_t} \sim \text{i.i.d. }(0, 1) \tag{2}$$

Sự khác biệt giữa 7 mô hình từ 8.1.1. Mô hình phương sai thay đổi có điều kiện tự hồi quy (ARCH) đến 8.1.7. Mô hình GARCH tích hợp phân số nhớ dài (FIGARCH) nằm ở giả định về phân phối của thành phần nhiễu, cơ chế nội sinh và ma trận trọng số ước lượng (Engle (1982); Bollerslev, Chou & Kroner (1992); Brooks (2019); Becketti (2020); Pesaran (2015); Verbeek (2021)).

2. Bảng đối chiếu các mô hình trong nhóm

Bảng dưới đây so sánh trực tiếp bản chất kinh tế lượng, câu lệnh thực thi trên ba phần mềm và kiểm định chẩn đoán của từng bài học trong nhóm 8.1:

Mã mục	Tên mô hình	Bản chất kinh tế lượng	Cú pháp ước lượng chuẩn (Stata 18 · R 4.x · Python 3.11+)	Kiểm định chẩn đoán bắt buộc
8.1.1	Mô hình phương sai thay đổi có điều kiện tự hồi quy (ARCH)	Mô hình hóa phương sai có điều kiện của sai số σ_t^2 như một hàm tuyến tính của bình phương các cú sốc trong quá khứ ε_{t-1}^2, …, ε_{t-q}^2 để giải thích hiện tượng cụm biến động (volatility clustering) và phân phối đuôi dày của chuỗi tài chính.	Stata: `arch ret, arch(1)` R: `rugarch::ugarchfit(ugarchspec(variance.model = list(model = 'sGARCH', garchOrder = c(1, 0))), ret)` Python: `arch_model(ret, vol='ARCH', p=1).fit(disp='off')`	Kiểm định nhân tử Lagrange cho hiệu ứng ARCH của Engle (ARCH-LM test) trước và sau ước lượng, điều kiện không âm của các hệ số (ω > 0, α_i ≥ 0) và kiểm định Ljung–Box trên phần dư chuẩn hóa bình phương
8.1.2	Mô hình ARCH tổng quát hóa của Bollerslev (GARCH)	Bổ sung các độ trễ của chính phương sai có điều kiện σ_{t-j}^2 vào phương trình ARCH của Engle, tạo ra cấu trúc ARMA tiết kiệm tham số cho phương sai giúp nắm bắt bộ nhớ biến động dài chỉ với GARCH(1,1).	Stata: `arch ret, arch(1) garch(1)` R: `rugarch::ugarchfit(ugarchspec(variance.model = list(model = 'sGARCH', garchOrder = c(1, 1))), ret)` Python: `arch_model(ret, vol='GARCH', p=1, q=1).fit(disp='off')`	Kiểm định điều kiện dừng phương sai (α_1 + β_1 < 1), tính chu kỳ bán rã cú sốc biến động (half-life = ln(0.5)/ln(α_1 + β_1)), kiểm định ARCH-LM và lựa chọn phân phối nhiễu (Normal, Student-t, GED)
8.1.3	Mô hình GARCH hàm mũ nắm bắt hiệu ứng đòn bẩy (EGARCH)	Mô hình hóa logarit tự nhiên của phương sai có điều kiện ln(σ_t^2) theo cả độ lớn và dấu của cú sốc chuẩn hóa, đảm bảo σ_t^2 > 0 với mọi giá trị tham số và đo lường trực tiếp hiệu ứng đòn bẩy bất đối xứng (tin xấu làm tăng biến động mạnh hơn tin tốt).	Stata: `arch ret, earch(1) egarch(1)` R: `rugarch::ugarchfit(ugarchspec(variance.model = list(model = 'eGARCH', garchOrder = c(1, 1))), ret)` Python: `arch_model(ret, vol='EGARCH', p=1, o=1, q=1).fit(disp='off')`	Kiểm định dấu âm và ý nghĩa thống kê của tham số bất đối xứng (γ < 0), kiểm định lệch dấu và độ lớn của Engle–Ng (Sign and Size Bias test) và kiểm định ARCH-LM phần dư chuẩn hóa
8.1.4	Mô hình GARCH ngưỡng bất đối xứng (GJR-GARCH)	Đưa biến giả chỉ báo cú sốc âm I(ε_{t-1} < 0) nhân với bình phương cú sốc ε_{t-1}^2 trực tiếp vào phương trình phương sai GARCH, cho phép kiểm định trực quan sự chênh lệch độ dốc phản ứng giữa cú sốc âm (α + γ) và cú sốc dương (α).	Stata: `arch ret, arch(1) tarch(1) garch(1)` R: `rugarch::ugarchfit(ugarchspec(variance.model = list(model = 'gjrGARCH', garchOrder = c(1, 1))), ret)` Python: `arch_model(ret, vol='GARCH', p=1, o=1, q=1).fit(disp='off')`	Kiểm định Wald cho tham số ngưỡng bất đối xứng H_0: γ = 0, điều kiện dừng phương sai α + γ/2 + β < 1, đường cong tác động tin tức (News Impact Curve) và kiểm định ARCH-LM
8.1.5	Mô hình ARCH ngưỡng trên độ lệch chuẩn Zakoian (TARCH)	Mô hình hóa trực tiếp độ lệch chuẩn có điều kiện $\sigma_t$ (bậc lũy thừa $p=1$ thay vì phương sai $\sigma_t^2$) với ngưỡng bất đối xứng cho cú sốc âm (leverage effect), giảm thiểu nhạy cảm cực đoan với các phiên biến động ngoại lai.	Stata: `arch (arch ret, arch(1) tarch(1) atarch(1) / abarch(1) atarch(1) sdgarch(1))` R: `rugarch (rugarch::ugarchspec(variance.model = list(model = "fGARCH", submodel = "TGARCH", garchOrder = c(1,1))))` Python: `arch (arch.arch_model(ret, vol="GARCH", p=1, o=1, q=1, power=1.0, dist="t"))`	Kiểm định Wald hiệu ứng bất đối xứng ($\gamma_1 \neq 0$), Engle ARCH-LM trên phần dư chuẩn hóa $\hat{z}_t = \hat{\varepsilon}_t / \hat{\sigma}_t$, Ljung–Box trên $\hat{z}_t^2$, News Impact Curve.
8.1.6	Mô hình ARCH lũy thừa bất đối xứng (APARCH)	Khái quát hóa 7 họ mô hình ARCH/GARCH thông qua việc ước lượng đồng thời số mũ lũy thừa δ > 0 của độ biến động σ_t^δ và tham số dịch chuyển bất đối xứng γ ∈ (-1, 1), nắm bắt tính nhớ dài trong lũy thừa trị tuyệt đối của tỷ suất sinh lời.	Stata: `arch ret, aparch(1) pgarch(1)` R: `rugarch::ugarchfit(ugarchspec(variance.model = list(model = 'apARCH', garchOrder = c(1, 1))), ret)` Python: `arch_model(ret, vol='APARCH', p=1, o=1, q=1).fit(disp='off')`	Kiểm định Wald cho các trường hợp đặc biệt H_0: δ = 2 (GJR-GARCH) và H_0: δ = 1 (TARCH), kiểm định tham số bất đối xứng γ và tiêu chuẩn thông tin AIC/BIC
8.1.7	Mô hình GARCH tích hợp phân số nhớ dài (FIGARCH)	Nắm bắt tính nhớ dài hạn (long memory / hyperbolic decay) của độ biến động tài chính với tham số sai phân phân số $d \in (0, 1)$, nối liền khoảng trống giữa GARCH dừng ngắn hạn ($d=0$) và IGARCH bền bỉ vô hạn ($d=1$).	Stata: `arch ..., figarch / ARFIMA-FIGARCH MLE` R: `rugarch (rugarch::ugarchspec(variance.model = list(model = "fiGARCH", garchOrder = c(1,1))))` Python: `arch (arch.arch_model(ret, vol="FIGARCH", p=1, q=1, truncation=1000, dist="t"))`	Kiểm định tham số nhớ dài $0 < \hat{d} < 1$ (khác 0 và khác 1 có ý nghĩa thống kê), điều kiện không âm hệ số Bollerslev–Mikkelsen, ARCH-LM dư.

3. Quy tắc lựa chọn mô hình phù hợp

Nhà nghiên cứu có thể áp dụng quy tắc phân nhánh dưới đây để chọn đúng mô hình trong nhóm 8.1 cho dữ liệu thực tế (Pesaran (2015); Verbeek (2021)):

Chọn 8.1.1. Mô hình phương sai thay đổi có điều kiện tự hồi quy (ARCH) khi: Đo lường rủi ro biến động ngắn hạn của tỷ suất sinh lời cổ phiếu, tỷ giá hối đoái hoặc lạm phát. (Kiểm định bắt buộc: Kiểm định nhân tử Lagrange cho hiệu ứng ARCH của Engle (ARCH-LM test) trước và sau ước lượng, điều kiện không âm của các hệ số (ω > 0, α_i ≥ 0) và kiểm định Ljung–Box trên phần dư chuẩn hóa bình phương).
Chọn 8.1.2. Mô hình ARCH tổng quát hóa của Bollerslev (GARCH) khi: Chuẩn mực cơ sở để ước lượng và dự báo độ biến động tỷ suất sinh lời tài sản tài chính, tính toán Value-at-Risk (VaR) và định giá quyền chọn. (Kiểm định bắt buộc: Kiểm định điều kiện dừng phương sai (α_1 + β_1 < 1), tính chu kỳ bán rã cú sốc biến động (half-life = ln(0.5)/ln(α_1 + β_1)), kiểm định ARCH-LM và lựa chọn phân phối nhiễu (Normal, Student-t, GED)).
Chọn 8.1.3. Mô hình GARCH hàm mũ nắm bắt hiệu ứng đòn bẩy (EGARCH) khi: Phân tích biến động thị trường chứng khoán (VN-Index, cổ phiếu ngân hàng) nơi hiệu ứng đòn bẩy tài chính và tâm lý hoảng loạn khi giá giảm thể hiện rõ nét. (Kiểm định bắt buộc: Kiểm định dấu âm và ý nghĩa thống kê của tham số bất đối xứng (γ < 0), kiểm định lệch dấu và độ lớn của Engle–Ng (Sign and Size Bias test) và kiểm định ARCH-LM phần dư chuẩn hóa).
Chọn 8.1.4. Mô hình GARCH ngưỡng bất đối xứng (GJR-GARCH) khi: Đo lường độ biến động bất đối xứng trên thị trường cổ phiếu, hàng hóa và tiền tệ khi cần giữ nguyên đơn vị đo phương sai σ_t^2. (Kiểm định bắt buộc: Kiểm định Wald cho tham số ngưỡng bất đối xứng H_0: γ = 0, điều kiện dừng phương sai α + γ/2 + β < 1, đường cong tác động tin tức (News Impact Curve) và kiểm định ARCH-LM).
Chọn 8.1.5. Mô hình ARCH ngưỡng trên độ lệch chuẩn Zakoian (TARCH) khi: Chuỗi tỷ suất sinh lợi cổ phiếu, chỉ số thị trường, hàng hóa, tiền mã hóa tần suất ngày/tuần ($T \ge 250$) có hiệu ứng đòn bẩy tin xấu mạnh và đuôi dày. (Kiểm định bắt buộc: Kiểm định Wald hiệu ứng bất đối xứng ($\gamma_1 \neq 0$), Engle ARCH-LM trên phần dư chuẩn hóa $\hat{z}_t = \hat{\varepsilon}_t / \hat{\sigma}_t$, Ljung–Box trên $\hat{z}_t^2$, News Impact Curve.).
Chọn 8.1.6. Mô hình ARCH lũy thừa bất đối xứng (APARCH) khi: Mô hình hóa linh hoạt chuỗi lợi suất tài sản khi chưa biết trước nên mô hình hóa phương sai (δ = 2) hay độ lệch chuẩn (δ = 1). (Kiểm định bắt buộc: Kiểm định Wald cho các trường hợp đặc biệt H_0: δ = 2 (GJR-GARCH) và H_0: δ = 1 (TARCH), kiểm định tham số bất đối xứng γ và tiêu chuẩn thông tin AIC/BIC).
Chọn 8.1.7. Mô hình GARCH tích hợp phân số nhớ dài (FIGARCH) khi: Chuỗi lợi suất tài chính hoặc tỷ giá tần suất ngày/giờ dài ($T \ge 500$) nơi hàm tự tương quan của $|\text{ret}_t|$ và $\text{ret}_t^2$ suy giảm chậm theo luật lũy thừa qua hàng chục phiên. (Kiểm định bắt buộc: Kiểm định tham số nhớ dài $0 < \hat{d} < 1$ (khác 0 và khác 1 có ý nghĩa thống kê), điều kiện không âm hệ số Bollerslev–Mikkelsen, ARCH-LM dư.).

4. Tài liệu tham khảo

Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4), 987–1007.
Bollerslev, T., Chou, R. Y., & Kroner, K. F. (1992). ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence. Journal of Econometrics, 52(1–2), 5–59.
Brooks, C. (2019). Introductory Econometrics for Finance (4th ed.). Cambridge University Press.
Becketti, S. (2020). Introduction to Time Series Using Stata (Revised ed.). Stata Press.
Pesaran, M. H. (2015). Time Series and Panel Data Econometrics (Chương 18: Volatility Modeling in Finance). Oxford University Press.
Verbeek, M. (2021). Panel Methods for Finance: A Guide to Empirical Practice (Chương 6: Asset Pricing & Fama–MacBeth/GRS Tests). De Gruyter.

ĐIỀU HƯỚNG HỌC TẬP:
↑ Tài liệu gốc: KINH TẾ LƯỢNG ỨNG DỤNG TOÀN DIỆN TỪ A – Z
↑ Chương chủ quản: 8. Độ biến động tài chính, định giá tài sản và rủi ro hệ thống
→ Bài học đầu tiên trong nhóm: 8.1.1. Mô hình phương sai thay đổi có điều kiện tự hồi quy (ARCH)